Thực đơn
Số_tự_nhiên Các phép toán trên tập hợp số tự nhiênCác phép toán trên tập hợp các số tự nhiên có thể định nghĩa nhờ phép đệ quy như sau
Nếu chúng ta ký hiệu S(0) là 1, khi đó b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b); tức là, số liền sau của b chẳng qua là b + 1.
Tương tự như phép cộng, chúng ta định nghĩa phép nhân × như sau
Nếu chúng ta hiểu tập hợp số tự nhiên theo nghĩa "không có số 0" và "bắt đầu bằng số 1" thì các định nghĩa về phép + và × cũng vẫn thế, ngoại trừ sửa lại a + 1 = S(a) và a × 1 = a.
Trong phần còn lại của bài này, chúng ta viết ab để ám chỉ tích a × b, và chúng ta cũng sẽ thừa nhận quy định về thứ tự thực hiện các phép toán.
Chúng ta có thể định nghĩa một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập số tự nhiên như sau:
Với hai số tự nhiên a,b, ta có a ≤ b nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên c sao cho a + c = b. Kiểu sắp thứ tự này cùng với các phép toán số học đã định nghĩa ở trên cho ta:Nếu a, b và c là các số tự nhiên và a ≤ b, thì a + c ≤ b + c và ac ≤ bcTập số tự nhiên còn có một tính chất quan trọng nữa là chúng là tập sắp tốt: mọi tập không rỗng của các số tự nhiên phải có một phần tử nhỏ nhất.Cho hai số tự nhiên a, b và b ≠ 0. Xét tập hợp M các số tự nhiên p sao cho pb ≤ a. Tập này bị chặn nên có một phần tử lớn nhất, gọi phần tử lớn nhất của M là q. Khi đó bq ≤ a và b(q + 1) > a. Đặt r = a − bq. Khi đó ta có
a = bq + r, trong đó 0 ≤ r < b.Có thể chứng minh rằng các số q và r là duy nhất. Số q được gọi là thương hụt (hay vắn tắt là thương), số r được gọi là số dư khi chia a cho b.Nếu r = 0 thì a = bq. Khi đó ta nói rằng a chia hết cho b hay b là ước của a, a là bội của b.
Thực đơn
Số_tự_nhiên Các phép toán trên tập hợp số tự nhiênLiên quan
Số tự nhiên Số tự mãn Số thực Số trung vị Số thực dấu phẩy động Số tuyến đường Số tròn Số tam giác Số thực dương Số thập phân vô hạn tuần hoànTài liệu tham khảo
WikiPedia: Số_tự_nhiên http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html http://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85093214 http://d-nb.info/gnd/4041357-3 http://vnexpress.net/GL/Khoa-hoc/2002/06/3B9BD1E1/ http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTo... https://www.iso.org/standard/31887.html